java背包问题动态规划算法分析

时间：2022-02-23 09:41:42|栏目：JAVA代码|点击：次

背包问题

【题目描述】
一个旅行者有一个最多能装 MM 公斤的背包，现在有 nn 件物品，它们的重量分别是W1，W2，…,WnW1，W2，…,Wn,它们的价值分别为C1,C2,…,CnC1,C2,…,Cn，求旅行者能获得最大总价值。

【输入】
第一行：两个整数，MM(背包容量，M<=200M<=200)和NN(物品数量，N<=30N<=30)；

第2…N+12…N+1行：每行二个整数Wi，CiWi，Ci，表示每个物品的重量和价值。

【输出】
仅一行，一个数，表示最大总价值。

【输入样例】
10 4
2 1
3 3
4 5
7 9
【输出样例】
12

我们可以通过自己打表的方式找变化求得状态方程
（横向表示容量，j）(纵向表示第几个，i)
#1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 0 1 3 3 4 4 4 4 4 4
3 0 1 3 5 5 6 8 8 9 9
4 0 1 3 5 5 6 9 9 10 12

dp[i][j]----i表示物品个数，j表示容量，dp[i][j]的值表示在此状态的最大价值
由此我们可以写出状态转移方程：

if(j<w[i])//当容量小于重量，即不拿的情况下
	dp[i][j]=dp[i-1][j]//等于上一次的值
else
	 dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);

完整代码如下：

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int m, n;
        int[] w = new int[35];
        int[] v = new int[35];
        m = in.nextInt();
        n = in.nextInt();
        int[][] dp = new int[35][205];//m容量，n数目个数

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            w[i] = in.nextInt();
            v[i] = in.nextInt();
        }

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                if(j<w[i])
                {
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                }else
                {
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
                }
            }
        }
        //输出dp数组
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                System.out.print(dp[i][j]+" ");
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println(dp[n][m]);
        in.close();
    }
}

当然，如果容量数字和物品个数很大的时候，这个表会很大，但是dp数组只与自己的上一次有关，会造成空间浪费，所以我们可以改进成滚动数组，减小空间，使其变成一维数组。

小tips：因为是滚动数组，所以如果第二层循环从1开始的话，可能会覆盖上一次的值，所以第二层循环的时候我们从后往前开始！

import java.util.*;
import java.lang.*;

public class Main {
    static int[]dp=new int[205];
    static int[] w = new int[35];
    static int[] v = new int[35];
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int m, n;
        m = in.nextInt();
        n = in.nextInt();
//        int[][] dp = new int[35][205];//m容量，n数目个数


        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            w[i] = in.nextInt();
            v[i] = in.nextInt();
        }

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = m; j >= 1; j--) {
                if(j>=w[i])
                {
                    dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
                }
            }

        }
        //输出dp数组
//        for (int i = 1; i <= n; i++) {
//            for (int j = 1; j <= m; j++) {
//                System.out.print(dp[i][j]+" ");
//            }
//            System.out.println();
//        }
//        System.out.println(dp[n][m]);
        System.out.println(dp[m]);
        in.close();
    }
}

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