反向传播BP学习算法Gradient Descent的推导过程

BP算法是适用于多层神经网络的一种算法，它是建立在梯度下降法的基础上的。本文着重推导怎样利用梯度下降法来minimise Loss Function。

给出多层神经网络的示意图：

1.定义Loss Function

每一个输出都对应一个损失函数L，将所有L加起来就是total loss。

那么每一个L该如何定义呢？这里还是采用了交叉熵，如下所示：

最终Total Loss的表达式如下：

2.Gradient Descent

L对应了一个参数，即Network parameters θ(w1,w2…b1,b2…)，那么Gradient Descent就是求出参数 θ?来minimise Loss Function，即：

梯度下降的具体步骤为：

3.求偏微分

从上图可以看出，这里难点主要是求偏微分，由于L是所有损失之和，因此我们只需要对其中一个损失求偏微分，最后再求和即可。

先抽取一个简单的神经元来解释：

因为我们并不知道后面到底有多少层，也不知道情况到底有多复杂，我们不妨先取一种最简单的情况，如下所示：

4.反向传播

l对两个z的偏导我们假设是已知的，并且在这里是作为输入，三角形结构可以理解为一个乘法运算电路，其放大系数为 σ′(z)。但是在实际情况中，l对两个z的偏导是未知的。假设神经网络最终的结构就是如上图所示，那么我们的问题已经解决了：

其中：

但是假如该神经元不是最后一层，我们又该如何呢？比如又多了一层，如下所示：

原理跟上面类似，如下所示：

那假设我们再加一层呢？再加两层呢？再加三层呢？。。。，情况还是一样的，还是先求l对最后一层z的导数，乘以权重相加后最后再乘上 σ′(z′′,z′′′,...)即可。

最后给一个实例：

它的反向传播图长这样：

我们不难发现，这种计算方式很清楚明了地体现了“反向传播”四个字。好了，目标达成！！

5.总结